Нелінійна хвильова модель буксируваної системи та чисельний метод її розрахунку

Анотація

Буксирувані системи знайшли широке застосування на практиці. Відомі підводні системи ерліфта великої протяжності для видобутку мінералів (конкрецій) з дна океану протяжністю в 5-10 км. Для вирішення завдань динаміки таких систем в різних середовищах відомі математичні моделі є не цілком коректними з точки зору врахування різноманіття хвильових процесів. Це визначає необхідність побудови уточнених хвильових моделей. У статті отримана нова квазілінійна математична модель, що описує нелінійну чотирьохмодову динаміку буксируваної системи в просторово-неоднорідному полі масових і поверхневих сил. Вона описується нелінійною системою дванадцяти рівнянь першого порядку в часткових похідних. Для неї виконуються принципи граничності і гіперболічності. У сукупності з крайовими і початковими умовами модель може застосовуватися для опису динаміки і статики геометрично і фізично нелінійних стрижневих елементів, паль в ґрунті, канатів кранового обладнання, шахтних підйомників, підвісних канатних доріг, систем, що буксируються в потоці рідини і газу, ін. Апробація двохмодової редукції моделі проведена на основі чисельного рішення задачі про поширення двох хвиль: поздовжніх і конфігураційних. За допомогою чисельного алгоритму і програми на основі методу скінченних різниць проведено порівняння двох різницевих схем: Кранка – Ніколсон та Ейлера. Основними обмеженнями для застосування методу скінченних різниць, використовуваного для чисельного моделювання поширення та відбиття хвиль у БС, є особливості визначальних квазілінійних рівнянь, що пов’язані з необхідністю одночасного обчислення змінних, відповідальних за швидкоплинні та повільні процеси. Для таких систем рівнянь використовується термін «сингулярно збурена система рівнянь». Ці збурення є наслідком значної різниці у швидкостях поширення поздовжніх, конфігураційних хвиль на фізичному рівні. У зв’язку з цим необхідно застосовувати спеціальні покрокові за часом методи регуляризації та фільтрації чисельних результатів. Це накладає певні обмеження на можливість моделювання реальних процесів та на точність отриманих результатів і змушує застосовувати неявні різницеві схеми та високочастотне фільтрування.